2007 год (муниципальная)
1. В языческом храме есть три говорящих идола - языческие боги. среди них: бог Лжи, который всегда лжет, бог Правды, который всегда говорит правду, бог Коварства, который может солгать или сказать правду. Паломнику, который не знает, кто есть кто из них, идолы сообщили следующее:
I: "II - не бог Лжи",
II: "III - не бог Правды",
III: "I - не бог Коварства",
(идолы перенумерованы в том порядке, в котором они высказывались). Определите по этим высказываниям, кто есть кто на самом деле.
2. Решить уравнение:
где [x] - целая, а {х} - дробная часть числа.
3. Известно, что xyz=1. Вычислить сумму
4. Каждая вершина треугольника АВС соединена с одной внутренней точкой на противолежащей стороне. Доказать, что центры трех полученных отрезков не лежат на одной прямой.
2008 год (школьная)
1. (4 балла) Постройте график функции
.
2. (4 балла) Известно, что a+b+c=5, ab+ac+bc=7. Найти a2+b2+c2.
3. (5 баллов) В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?
4. (5 баллов) На плоскости даны треугольник ABC и такие точки D и E, что угол ADB и угол BEC равны 900. Докажите, что длина отрезка DE не превосходит полупериметра треугольника ABC.
5. (6 баллов) Решить систему уравнений:
6. (7 баллов) Найдите те первообразные функции
,
графики которых имеют с графиком
ровно
две общие точки.
РЕШЕНИЯ:
2. Решение. a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=25-14=11. Такие числа действительно существуют: один из примеров a=3, b=c=1. Ответ: 11.
3. Решение. Разобьем процесс съедения щук по этапам. На первом этапе 7 щук съедают 21 щуку, и еще остается 2. На втором этапе щук всего 9 из них 2 голодных. Эти две съедают 6 щук. На третьем этапе щук всего 5. Одна какая-нибудь съедает трех. И их всего остается 3 штуки. Ответ: 10 щук.
4. Решение. Пусть X – середина AB, Y – середина BC. Тогда DX – медиана в прямоугольном треугольнике ADB из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы AB. Аналогично, YE – половина BC. В треугольнике ABC XY – средняя линия, равная половине стороны AC. Итак, полупериметр равен (AB+AC+BC)/2=DX+XY+YE>DE, так как если какая-то из точек X, Y не лежит на DE, то ломаная длиннее отрезка, соединяющего ее концы.
5. Ответ: (0;0), (2;1), (1,5;0,5).
6. Ответ:
.
назад
