2007 год (задания межрегиональной заочной олимпиады)

1. Последовательностью цифр 14012006140120101201 зашифровано слово следующим образом: каждой букве поставлено в соответствие двузначное число. Расшифруйте.

2. В треугольнике АВС выбрали точку Р на стороне ВС и провели через нее отрезки PQ и PR, параллельные сторонам АС и АВ соответственно, до пересечения с этими сторонами. Известно, что площадь треугольника BQP равна S₁, а треугольника CRP - S₂. Найдите площадь треугольника АВС.

3. Решите уравнение (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=24.

4. Какое из двух чисел имеет больше делителей, включая как простые, так и составные: 2007²⁰⁰⁷ или 2007! ? Примечание: для любого натурального числа п символ п! (п факториал) обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до п.

5. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга (не стояли на соседних клетках)? Примечание: расстановки, при которых черный и белый короли меняются местами, считаются разными.

2007 год (российские открытые заочные конкурсы, номинация "В мире чисел", 7-8 классы)

1. Упражнения на развитие мышления:

А)

 

                                   5а²в      30

 

 

                       6а²+2в    ?

 

Б)  3/5=х/10        36

   (6х)/21=8/7     ?

2. На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

3. Загадочный диалог. Два математика, не достигшие пенсионного возраста, встретились после долгого перерыва.

Приведем фрагмент их диалога:

- Ну, а дети у тебя есть?

- Три сына.

- А сколько им лет?

- Если перемножить, будет как раз твой возраст.

- (После размышления). Не понимаю.

- Если сложить их возраст, получится сегодняшнее число.

- (Вновь после размышления). Не понимаю.

- Кстати, средний сын любит танцевать.

- Понял.

А, вы, можете определить возраст каждого из сыновей?

4. Головоломки для интеллектуалов.

А) ШОФЕР=6

     ПЕШЕХОД=8

     КАТАСТРОФА=?

Б) АННА-ФОМА=МАРИЯ-?

    (БОРИС, ГЛЕБ, ИВАН, ПРОВ)

5. Мышка грызет куб сыра, составленный из 27 единичных кубиков. Когда она съедает кубик, то переходит к соседнему через общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?

       

назад